一．通項(xiàng)公式與遞推公式：

例1. 求下列各數(shù)列的通項(xiàng)公式：

15，55，555，……

20，1，0，2，0，3，……

31，0，1/2，0，1/3，0，……

42，4，2，4，2，4，……

5a，b，a，b，a，b，……

例2. 已知x2+x+1=0，求xn+1/xn的值（n可任意的正整數(shù)）

解：由a1=x+1/x，可得an+2=-（an+an+1）（a1=-1，a2=-1）

例3. 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在1228年提出《兔子問(wèn)題》如下：“假定一對(duì)兔子每一個(gè)月可以生一對(duì)兔子，并且兔子在出生兩個(gè)月后具有生殖能力，問(wèn)一年后可繁殖到多少對(duì)兔子？”

1試寫出一年各月后的兔子數(shù)。

2指出這個(gè)數(shù)列的規(guī)律。

3這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？

解：1幾月后 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

兔子的對(duì)數(shù)1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377

2遞推公式：Fn+1=Fn+Fn-1（F0=1，F(xiàn)1=1,n）

3經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)家們的長(zhǎng)期努力，終于找出F數(shù)列的通項(xiàng)公式是：Fn=1/[(1+/2)n+1-(1-)n+1]

可以證明：=-1/20.618

二．?dāng)?shù)列的增減性與有界性：

遞增數(shù)列：對(duì)任意的自然數(shù)n，有an+1an

遞減數(shù)列：對(duì)任意的自然數(shù)n，有an+1an

有節(jié)數(shù)列：存在一個(gè)整數(shù)M,使︱an︱,對(duì)任意的自然數(shù)n都成立。

例4.證明數(shù)列{n+1/n}是遞減有界數(shù)列（故一定有極限），并求極限值

例5. 數(shù)列的通項(xiàng)an=n2/n2+1

10.98是不是它的一項(xiàng)

2證明{an}是遞增有界數(shù)列（故一定有極限）并求極限值

三．等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些重要性質(zhì)：

1.等差中項(xiàng)：X,A,Y,成等差數(shù)列 A=X+Y/2

2.若an是等差數(shù)列，且m+n=k+l則am+an=ak+al（反之對(duì)嗎？）

3.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，則{Kan+C}是公差為Kd的等差數(shù)列。

4.等差數(shù)列的通項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)的一次函數(shù)，前n項(xiàng)的和事項(xiàng)屬的二次函數(shù)（反之對(duì)嗎？）

5.等比中項(xiàng)X,G,Y,成等比 G2=XY

6.若{an}是等比數(shù)列，且m+n=k+l，則am.an=ak.al

7.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則{ank}是公比為qk的等比數(shù)列。

8.{bn}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列 {}是等差數(shù)列。

性質(zhì)2、6可用通項(xiàng)公式證出。

性質(zhì)3、7、8可用定義或通項(xiàng)公式兩種方法證明。

例6.若{an}是等差數(shù)列，且a6+a9+a12+a15=20，求S20

解：由性質(zhì)2可得a1+a20=10，所以S20=100

例7.如果等差數(shù)列的am+n=A,am-n=B,(A,B為已知)求am與an

解：由性質(zhì)2，am=A+B/2

又am+n=am-n+2nd，d=A-B/2n故an=am+（n-m）d，an=am+（n-m）d=（2n-m）A+mB/2n

例8.試問(wèn)數(shù)列2/4），……n-1/4）的前多少項(xiàng)的和的值最大。并求除這個(gè)最大值

解：（1）此數(shù)列可化為{2-1/2（n-1）}是遞減的等差數(shù)列。要使和最大，則

an由此解得n=14

an+1 最大值約為14，30

（2）運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，化為二次函數(shù)的極值問(wèn)題：Sn=（-1/4）n2+（2+1/4）當(dāng)n13.78，所以n=14

四．給Sn求an的問(wèn)題：

例9.已知數(shù)列1，2，4，……的前n項(xiàng)的和公式是Sn=an+bn2+cn3（c，求這個(gè)數(shù)列的通向公式，并確定a，b，c的值

四．證明問(wèn)題：

例10 a2，b2，c2三數(shù)成等差數(shù)列，證明1/c+c，1/c+a，1/a+b三數(shù)成等差數(shù)列。

證明：（1）[用定義]只要證明1/c+a-1/b+c=1/a+b-1/c+a

證明：（2）[用等差中項(xiàng)]只要證明：1/a+b+1/b+c=2/c+a，注意不要忘了定義，要某些場(chǎng)合（如分式、三角函數(shù)式）相減便于變形化簡(jiǎn)。

例11等比數(shù)列a，ar，ar2…arn-1…的前n項(xiàng)之和味S，前n項(xiàng)之積為P，它們的倒數(shù)之和為T，求證：P2=(S/T)n

證明：由P=anrn（n-1）/2及T=rn+rn-2+…+r+1/arn-1=S/a2

rn-1可得

例12.求證=33…3（2n個(gè)1，n個(gè)2，n個(gè)3）

證明：（1）99…9（n個(gè)9）=10n-1可得。

（2）若設(shè)11…1(2n個(gè)1)=A，只要證明=3A

例13.不論正數(shù)a，b，c是等差數(shù)列，還是成等比數(shù)列，都有an+cn2bn（n+）

五．?dāng)?shù)列與二次方程根的判別式：

例14.若方程a（b-c）x2+b（c-a）x+c（a-b）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求證：1/a，1/b，1/c成等差數(shù)列。

例15.若（Z-X）2-4(X-Y)(Y-Z)=0,求證，X,Y,Z成等差數(shù)列

解：（1）展開(kāi)已知條件并配方（Z+X-2Y）2=0

（2）令X-Y=a,Y-Z=b,X-Z=a+b代入條件可得（a-b）2=0

(3)二次方程 (X-Y)u2+(Z-X)u+（Y-Z）=0的判別式為0，所以x1=x2=1，再由韋達(dá)定理可得。

例16.若實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4都不為零，且滿足

（a12+a22）a42-2a2（a1+a3）a4+a22+a32=0，求證：a1，a2，a3，成等比數(shù)列，且公比為a4

證明：（1）由判別式 =4 a22（a1+a3）2-4（a12+a22）（a22+a32）0，可得a22= a1 a3

再由 =0可得a4= a2/ a1

（2）由一只可得（a2- a1 a4）2+（a3- a2 a4）2=0

七．?dāng)?shù)列求和問(wèn)題：

1.直接運(yùn)用公式：

例17.計(jì)算log3（兩種方法）

例18.把正奇數(shù)1，3，5，7，9，11…如下分組（1），（3，5），（7，9，11）…，試求第n組數(shù)之和與當(dāng)前n組數(shù)的總和，并由證明13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2

解：因?yàn)榍皀組數(shù)共含奇數(shù)列的1+2+3+…+n=n（n+1）/2項(xiàng)

所以第n組數(shù)的最后一個(gè)數(shù)是2.n（n+1）/2-1=n2+n-1

故第n組數(shù)之和為（n2+n-1）n+n.（n-1）/2（-2）=n3而前n組數(shù)之和為1+3+5+…+（n2+n-1）=（n2+n/2）2

2.可以化為等差（比）數(shù)列求和：

關(guān)鍵是“化”字，其具體方法大致有合、拆、減、顛倒相加，錯(cuò)位相減等

例19.求和：

（x+1/x）2+（x2+1/x2）2+…+（xn+1/xn）2（合）

例20求5，55，555，…的前n項(xiàng)之和（拆）

例21.求1至200，這200個(gè)整數(shù)中，既不是2的倍數(shù)，又不是3的倍數(shù)的所求書的總和。（減）

例22求分母為3，包含在正整數(shù)m和n（m）之間的所有不可約得分?jǐn)?shù)之和

解：分析m，m+1/3,m+2/3，m+1,m+4/3，…n-1/3，n，可用（減）（所有項(xiàng)之和減去可約項(xiàng)之和）合（兩兩結(jié)合而成等差數(shù)列）及顛倒相加等方法。

例231求和：（1.q+2.q2+3.q3+…+n.qn）q（q）

2求證：…4

3.某些特殊數(shù)列的求和：

例24.求和1，-3，5，-7，-11

例25求和（1）1/1*2+1/2*3+…+1/n（n+1）

（2）1/1*3+1/3*5+…+1/（2n-1）（2n+1）

（3）3/1*2*4+5/2*3*5+7/3*4*6+…+2n+1/n（n+1）（n+3）

解：（1）注意到1/k*（k+1）=1/k-1/k+1

（2）注意到1/（2k-1）（2k+1）=1/2（1/2k-1-1/2k+1）可求得和味n/2n+1

（3）注意到：2k+1/k（k+1）（k+3）=

1/k（k+3）+1/（k+1）（k+3）=1/3(1/k-1/k+3)+1/2(1/k+1-1/k+3)

原式=1/3（1+1/2+1/3-1/n+1-1/n+2-1/n+3）+1/2（1/2+1/3-1/n+2-1/n+3）=37/36-1/3（n+1）-5/6（n+2）-5/6（n+3）

習(xí)題

1.三個(gè)正數(shù)a，b，c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，求證a，b，c三數(shù)相等。

2.在兩不等正數(shù)a和b之間，插入n個(gè)正數(shù)x1，x2，…xn成等比數(shù)列，求證：=

3.試求等差數(shù)列相鄰三項(xiàng)的平方，飯別是等比數(shù)列相鄰三項(xiàng)的條件。

4.求數(shù)列，，，…前n項(xiàng)之和（a）

5.有一數(shù)列3，5，9，15…它們的差是等差數(shù)列，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。

6.將偶數(shù)列2，4，6，8，10，12，…，如先分組（2），（4，6），（8，10）（8，10，12），…求第n組數(shù)之和與前n組的總和。

7.求證：1+1/1+2+1/1+2+3+1/1+2+3+…+n=2n/n+1

8.已知三角形的三邊成等差數(shù)列，最大角與最小角相差90°，求證三角形的三邊之比是-1：：+1

9.（1）設(shè)f（n）=2n+1（當(dāng)n=1，2，3…）

g（n） 3（當(dāng)n=1時(shí)）

f[g（n-1）]（當(dāng)n）

求：g（n）的通項(xiàng)公式。

（2）又設(shè)h（n）= 3（當(dāng)n=1時(shí)）

g[h（n-1）]（當(dāng)n

時(shí)）

求h（n）的通項(xiàng)公式

10.已知△ABC的底邊BC的中線為AM，直線GH與AB,AM,AC,分別交于D、E、F,求證：BD/AD,ME/AE,CF/AF成等差數(shù)列。